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Desafios
1) Um ciclo ao estilo do Stirling (Ensino superior)
O diagrama Pressão p - Volume V representado na figura mostra um ciclo termodinâmico descrito, no sentido horário, por n moles de um gás perfeito. (Este ciclo é conhecido como ciclo de Stirling.) Os processos 1→2 e 3→4 são isocóricos (o volume permanece constante) e os processos 2→3 e 4→1 são isotérmicos (a temperatura permanece constante). Nos processos 1→2→3 o gás está em contato térmico com um reservatório à temperatura absoluta T2, e nos processos 3→4→1 o gás está em contato térmico com um reservatório à temperatura absoluta T1. 
(a) Prove que, em cada ciclo, a variação de entropia do universo vem dada por  , onde ΔT ≡ T2 - T1 é a diferença de temperatura entre os dois reservatórios e cv é a capacidade térmica molar do gás a volume constante. (b) Mostre que a eficiência do ciclo de Stirling vem dada por  onde ΕC é a eficiência de um ciclo de Carnot que funciona com os mesmos dois reservatórios térmicos, γ é o coeficiente adiabático do gás, e r ≡ V4/V1 é a razão de compressão do ciclo. Retire conclusões. (a) Sendo o universo, neste caso, constituído pelo gás que efetua o ciclo, pelo reservatório à temperatura absoluta T2 (que designaremos reservatório 2) e pelo reservatório à temperatura absoluta T1 (que designaremos reservatório 1), temos ΔSuniverso = ΔSgás + ΔSreservatório 2 + ΔSreservatório 1. Como o gás percorre um ciclo e a entropia é uma função de estado, ΔSgás = 0. Quanto aos reservatórios, podemos escrever   onde Q1→2, Q2→3, Q3→4 e Q4→1 são as quantidades de calor associadas ao gás nos processos respectivos. Assim, resulta  Como ambos os processos 1→2 e 3→4 são isocóricos, o trabalho associado a eles é nulo (W1→2 = W3→4 = 0), pelo que a primeira lei da termodinâmica ΔU = Q + W nos permite escrever ΔU1→2 = Q1→2 e ΔU3→4 = Q3→4; tratando-se de um gás perfeito, temos Q1→2 = ΔU1→2 = ncv (T2 - T1) = ncvΔT; Q3→4 = ΔU3→4 = ncv (T4 - T3) = ncv (T1 - T2) = - ncvΔT. Como o gás é perfeito e ambos os processos 2→3 e 4→1 são isotérmicos, a variação de energia interna associada a eles é nula (ΔU2→3 = ΔU4→1=0), pelo que a primeira lei da termodinâmica nos permite escrever Q2→3 + W2→3 = 0 e Q4→1 + W4→1 = 0; tratando-se de um gás perfeito, temos   Substituindo na expressão de ΔSuniverso as últimas quatro relações deduzidas, obtemos  Note-se que ΔSuniverso > 0, ou seja, este ciclo é irreversível. É fácil verificar que a irreversibilidade do ciclo está associada aos processos 1→2 (aquecimento irreversível) e 3→4 (arrefecimento irreversível). O ciclo de Stirling pode, em teoria, ser efetuado de forma reversível (isto é, com ΔSuniverso = 0), mas isso requereria um número virtualmente infinito de reservatórios térmicos que preenchessem o intervalo de temperaturas compreendido entre T1 e T2. O gás teria de ser posto em contato com esses infinitos reservatórios, sucessivamente, de forma tal que tanto o aquecimento como o arrefecimento ocorressem reversivelmente. O universo seria constituído, nesse caso, pelo gás e pelos infinitos reservatórios. (b) A eficiência do ciclo de Stirling pode ser calculada através da expressão geral  e como a eficiência de um ciclo de Carnot a funcionar entre os mesmos reservatórios é  , podemos escrever  onde usamos a relação cv/R = 1/γ-1, em que γ é o coeficiente adiabático do gás, e definimos a razão de compressão r ≡ v4/v1. Esta expressão mostra claramente que Ε < ΕC, ou seja, a eficiência do ciclo de Stirling é inferior à eficiência do ciclo de Carnot, confirmando uma das versões da segunda lei da termodinâmica. Observa-se também que, quanto maior for a razão de compressão, mais próximas serão as eficiências dos dois ciclos. Uma nota final: existe uma versão melhorada do ciclo de Stirling que envolve a introdução de um regenerador; em teoria, e em condições ideais, o ciclo de Stirling com regeneração consegue ter a mesma eficiência do ciclo de Carnot. (Isso é possível graças à relação Q3→4 = -Q1→2). O leitor interessado poderá aprofundar este assunto em qualquer bom livro de termodinâmica para engenharia. |
